1、2010年考研数学二真题(激烈举荐)填空题(8×4=32分)(1)函数/(工)=?宁，的无量接连点数为(a)0.(b)l.(c)2.(d)3.j口)野i,英是一阶线性非齐次撤分方撤*=q的两个特解一若常数使8十是该方程的解，)以-凡也是对应的齐次方程的解，则2122(o金=彳，刈=彳2=3."=三(3)曲线y=*与曲线y=<71n.tg*0)相切r则。三(a)4e(b)3e(c)2e(d)e-3m”牛m(1-x)一(4)设帆月是1e鹉数，则异常积分f7=-4c的收敛性:(a)仅m与值有关.(b)仅n与值有关，(c)与也打值都有关.(d)与网n值都无关一(5)设函融=二区中由方程
2、f(2,三)=0断定，其间f为可微函数，卬餐0,则xx改般x+v=.r1-excy(1) x.(b)z.(c)-x.。)-工(8)设月为4阶实对称矩阵，il4一手曾，若月的秩为3,贝必i与类似于1(8) 1-1.0,-1)t-10二、填空题；9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指
3、定方位上.(9) 3阶常系数线性齐次微分方程y”一2/+v-2y=0的通解为);=(10)前哨y=r的渐近线方程为旷+1(11)函数y=in(1-2x)在x=0处的阶导数,v(n1(0)=(12)当owes时，对数嫁线r=/的弧长为.(13)已知一个长方形的长，以2c加的速率添加)宽卬以3切心的速率添加)则当，=12呵m，=55时，它的对角线添加的速率为.(14)设45为3阶矩阵，且4；=3,|5|=24-1+5|=2,则p4+b-1|=.三、答复题:1523小题，共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.(15)(本题满分10分)求函数力=，
4、t的单调区间4极值.(16)(本题满分10分)(i)比照j:111”111(1+f)力与110班(=1,2,)的巨细，阐明理由；(h)记"广|lnf山(1+。&(”=12.)，求极限limu.(17)(本题满分11分)设函数由参数方程)逐个.且“(1)=-,v/()=6,己知汇=-一,求函数2dx*4(l+f)(18)(本题满分10分)一个高为/的柱体形贮油罐，底而是长轴为为，短轴为力的椭圆，现将贮油罐平放,当油器中油而高度为:b时(如图)，计和油的质量.(长度单位为孙质量单位为杷，油的密度为常数pkg/)
5、【分析】先求油的体积，实践只需要椭圆的有些面积.【详解】建正如图所示的直角坐标系.则油罐底面椭圆(19)(本题满分11分)设函数=f(x.y)具有二阶接连偏导数，且满足等式4:亏+12b+5丁5=0,确"cxcycy定a，b的值，使等式在改换j=x+m=x+切下化简为,证明:存在3(
6、o.；),ne4，1)，使得8啊v=b的通解.0 -1 4设幺=1 3 (14 fl 0(23)(本题满分h分)正交矩阵。使得色。为对角矩阵，若0的第1列为2(1.2.1)。求a。2009年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内。3(1)函数f(x)心-与g(x)=x2ln(1bx)是等价无量小，则(
7、)sinnx(a)1(b)2(c)3(d)无量多个(2)当xt0时，f(x)=xsinax与g(x)=x2ln(1bx)是等价无量小，则()、一1一1一1/.1(a)a=1,b=(b)a=1,b=(c)a=1,b=(d)a=1,b=一6666(3)设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)()(a)不是f(x,y)的接连点(b)不是f(x,y)的极值点(c)是f(x,y)的极大值点(d)是f(x,y)的极小值点(4)设函数f (x,y)接连，则24与(a)1 dx(1f(x, y)dy24 t(c)1 dx j1f(x, y)dx24 4(b) 1 dxfx f(x,
8、 y)dy22(d)(dx( f(x,y)dx2224-y11dx(x,y)dy+rdy(f(x,y)dx=()(5)若f "(x)不变号，且曲线区间(1, 2)内()(a)有极值点，无零点(c)有极值点，有零点(b)无极值点，有零点(d)无极值点，无零点y=f(x)在点(1,1)的曲率圆为x2+y2=2,则f(x)在(6)设函数y=f(x)在区间-1,3上的图形为x则函数f(x)=1f(t)dt为()(7)设a、b均为2阶矩阵,|a|=2, |b|=3,则分块矩a”, b用别离为a、b的伴随矩阵。若.0al“入一阵的伴随矩阵为()90；(a)0 3b*w 0 /(b)0
9、2b3a*0 /(c)(d)2a0100”(8)设a,p均为3阶矩阵，pt为p的转置矩阵，且ptap=010,若<002p=(ai,在(0,0)处的切线万程为2_2y=tln(2-t)(10)已知rek|x|dx=1,贝uk=j_co1斗(11) li
10、meesinnxdx=n厂0(12)设y=y(x)是方程xy+ey=x+1断定的隐函数，则。旧=dx(13)函数y=x2x在区间(0,1上的最小值为200、(14)设o(,b为3维列向量，bt为p的转置，若pt类似于000,则<000)0"三、答复题:15-23小题，共94分。请将答复写在答题纸指定的方位上。回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程。(1-cosx)x7n(1tanx)(15)(本题满分9分)求极限limx0sinx1x(16)(本题满分10分)核算不te积分jln(1+，)dx(x>0)(17)(本题满分10分)设z=f(x+y,xy,xy),其间f具有2
11、阶接连偏导数，求dz与、2:z:x:y(18)(本题满分10分)设非负函数y=y(x)(x>0),满足微分方程xy"y+y+x=0。求y(x)的表达式
12、。(21)(本题满分11分)(i)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在a,b上接连，在(a,b)可导，则存在:w(a,b),使得f(b)f(a)=(，)(ba)。(ii)证明:若函数f(x)在x=0处接连，在(0,6)(6>0)内可导，且四,a2j=g的一切向量,2,，；(ii)对(i)中的任一贯量，2,。3,证明:0s3线性无关。22-2(23)(本题满分11分)设二次型f(x1,x2,x3)=ax1+ax2
13、+(a-1)x3+2x1x3-2x2x322(i)求二次型f的矩阵的一切特征值；(ii)若二次型f的标准形为y1+y2,求a的值。2008考研数学二真题一、选择题:(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中,只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设f(x)=x2(x-1)(x+2),则fx)的零点个数为().(a)0.(b)1.(c)2.(d)3.a曲线方程为y=f(x),函数在区间0,a上有接连导数，则定积分0xfx)dx在几许上标明().(a)曲边梯形abod的面积.(b)梯形abod的面积.(c)曲边三角形acd面积.(d)三角形acd面积.(3)鄙人
14、列微分方程中，以y=gex+c2cos2x+c3sin2x(cicc为任意的常数)为通解的是().(a)yy-4y-4y=0.(b)yy4y4y=0.(c)y-y-4y4y=0.(d)y"-y4y-4y=0.(4)断定函数f(x)=wsinx接连点的情况().|x-1|(a)有1可去接连点，1跳动接连点.(b)有1跳动接连点，1无量接连点.(c)有2个无量接连点.(d)有2个跳动接连点.(5)设函数f(x)在(,)内单调有界，4为数列，下列出题正确的是().(a)若xn收敛，则f(%)收敛(b)若4单调，则f(%)收敛(c)若f(xj收敛，则%收敛.(d)若f(4)单调，则4收敛.2
15、2、(6)设函数f接连，若f(u,v)=wf(x(b)-r2(c)212,(d)12二、填空题:(914小题，每小题4分，
16、共24分.把答案填在题中横线上)(9)已知函数f(x)接连，且所1-:osxf(x)=1,则f(o)=x3(ex-1)f(x)(10)微分方程(y+x2e/)dx-xdy=0的通解是.(11)曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程为2(12)曲线y=(x-5)x3的拐点坐标为.x(13)设z=fyy,则2=.w班(1,2)(14)设3阶矩阵a的特征值为2,3,人.若部队式|2a|=-48,则九=三、答复题(1523小题，共94分).(15)(本题满分9分)求极限limilin x – sin(sinx) jsin x(16)(本题满分10分)x=x(t)设函数y=y(
17、x)由参数方程4t2断定，其间x=x(t)是初值疑问y=0ln(1u)dudx x 2te dt二0的解，求小2(17)(本题满分9分)核算。=dx.(18)(本题满分11分)核算ffmaxxy,1dxdy,其间d=(x,y)|0<x<2,0<y<2.d(19)(本题满分11分)设f(x)是区间0,也)上具有接连导数的单调添加函数，且f(0)=1.对任意的tw0,f),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的旁边面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)(本题满分11分)(i) 证明积分中值
18、定理:若函数f(x)在闭区间a,b上接连，则至少存在一点b”a,b,使得ff(x)dx=f(")(b-a);a3(ii) 若函数巴x)具有二阶导数，且满足邛(2)>9(1),邛(2)>j”(x)dx,证明至少存在一点心(1,3),使得中"(。<0.求函数u = x2 + y2 + z2在捆绑条件(21)(本题满分11分)z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小(22)(本题满分12分).设n元线性方程组ax=b,其间2a12_.a2a12_.a2a1a=,i2a(i)证明部队式|a|=(n+1)an;(ii)当a为何值时，该方程组有专一解，并求疑.(
19、iii)当a为何值时，该方程组有无量多解，并求其通解.(23)(本题满分10分)设a为3阶矩阵，%,%为a的别离归于特征值-1,1的特征向量，向量满足a3=%十%,证明“3线性无关;(ii)令p=(%,%,%),求p/ap.2007年研讨生入学考试数学二试题一、选择题:110小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1)当xt0+时，与jx等价的无量小量是(a)1-e"(b)lnx=(c)/+4-1(d)1-cos7x1-，x(2)函数 f (x)=(a)0(b) 1兀(c) 逐个2ji(d)一2(3)如图，接连函数
20、 y= f(x)在区间-3,-2】,l2,3上的图形别离是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0，10,2】的图形别离是直径为 2的下、上半圆周，设f(x) =x10 f(t)dt，则下列结论正确的是:(e+e)tanx在_%n上的第一类接连点是5(d)f(3)=-4f(-2)(4)设函数f(x)在x=0处接连，下列出题差错的是:(a)若lim四)存在，则f(0)=0x0x(b)若limf(x)"(次)存在,则f(0)=0x0x(b)若lim坨存在，则f=0x0x(d)若limf(x)f(x)存在,则f<0)=0.x0x1x(5)曲线y=+ln(1+ex)的渐近线的条数为x(a)
21、0.(b)1.(c)2.(d)3.(6)设函数f(x)在(0,+=)上具有二阶导数，且f“(x)>0,令un=f(n),则下列结论正确的是:(a)若uiau2，则4必收敛.(b)若u1au2，则"必发散(c)若u1<u2，则/必收敛.(d)若5<必，则%必发散.(7)二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是(a) rlim0jf(x,y)-f(0,0)1=0.(x,y)_.-0,0f(x,0)-f(0,0)f(0,y)-f(0,0)(b) lim=0,且lim=0.x0xy0y(c)limf(x,y)-f(0,0)(x,y)，。,。x2.y2(d)l
22、imfx 2 – 3, -3 – ? 1(b) : 1 .1 2, 二 2 二 3, 二 3
23、 二 1(c); i -21 2, : 2 -2:-3, : 3 -2: 1 .(d) : 12: 2, : 22: 3,: 3 21 1 .2-1 1、(10)设矩阵 a = 1 2-11 -12(a)合同且类似 (c)不合同，但类似.二、填空题:1116小题，每小题10 0、b= 0 1 0，则 a与 b<0 0。(b)合同，但不类似.(d)既不合同也不类似4分，共24分.把答案填在题中横线上(11)arctan x -sin x22.2x(12)曲线x=cscos对应于t的点处的法线斜率为y=1sint41，一、(13)设函数v=则y(0)=2×3(14)二阶常系数非齐
24、次微分方程y"4y
25、一)下方、*轴上方的无界区域.(i)求区域d绕x轴旋转一周所成旋转体的体积v(a)；(n)当a为何值时,v (a)最小？并求此最小值.(19)(本题满分10分)求微分方程y”(x + y(2) = y满足初始条件y(1)= y(0) = 1 ,函数y = y(x)由方程y xey=1所断定，设dzz = f (ln y -sinx)，求一 dxd2zx=0， , 2 x=0 .dx(21)(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在b,b上接连，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f
26、(a) =g(a), f(b) =g(b),证明:存在其(a,b)，使得 f“(d = g"k).(22)(本题满分11分)设二元函数f(x, y)=2x ,1,x2 y2,1qxi+iyix匚-vx,41+g-1|_l1g,1-cos6|_(vx)=
27、1×222故用打扫法可得正确选项为(b),1x111ln一实际上,1,.x.ln(1x)-ln(1-x)1×1-x2x.limflim=lim；=1,xpxx/xxw12jx或ln1 x1:/x二 ln(1 x) – ln(1 :./x) = x o(x) . x o(. x);x o( x) . x .所以应选（b）【评注】本题为关于无量小量比照的根柢题型，使用等价无量小代换可简化核算2【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无界说点，再根据支配极限判别接连点的类型.【详解】函数在x=0,x=1,x=二均无意义,2(e e)tan x 而 lim f (x) = lim x_0
28、 +x_0 +1x ex -e(exe)tanx=0,limf(x)=lim("-=-1;x_0-x_0-11xex-elim f (x) = limx_1x 1x(e e)tan xlim二 f (刈=lim 二(ex e)tan x一2一21 1- x -e -e所以x =0为函数f（x）的第一类接连点，故应选（a）.【评注】本题为基础题型断接连点的类型;也可认为接连点,.对初等函数来讲，无界说点即为接连点，然后再根据支配极限判对分段函数来讲，每一分段支中的无界说点为接连点，而分段点然后求支配极限进行判别.段函数的定积分.【详解】使用定积分的几许意义，可得1 2 11f(3)21
29、 222121f(2)二一二 2 二 22-2f(-2) =f(x)dx = – f(x)dx= f(x)dx =020-二 1223 3所以f(3)=f(2)=f(2),故选(c).4 4【评注】本题属根柢题型.本题使用定积分的几许意义比照简练.4【分析】本题查询可导的极限制义及接连与可导的联络.因为题设条件富含笼统函数，本题最简练的办法是用赋值法求解，即取契合题设条件的特别函数f(x)去进行判别，然后选择正确选项f(x)-f(一x)【详解】取f(x)=|x|,则lim=0,但f(x)在x=0不可以导，故选(d)实际上，在(a),(b)两项中，因为分母的极限为0,所以分子的极限也有必要为0,则可
30、推得f(0)=0.在(c)中，limf(x)存在，则f(0)=0,f(0)=limf(x)f(0)=limf=0,x0xx>0x-0x0x所以(c)项正确，故选(d)【评注】关于题设条件含笼统函数或备选项为笼统函数方法成果以及数值型成果的选择题，用赋值法求解一般能收到奇效.5【分析】使用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，笔直渐近线和斜渐近线，然后判别.1v【详斛】lim y = lim .|-+ln(1+ex:. x,二二 x代,lim y = lim 1 + ln(1+ex )= 0 , xjx-； 1x妈 y=lxm35+ln(i+e,所
31、以x = 0是曲线的笔直渐近线;lim x.: x1xln 1 ex lim xi；二:xln 1 elim x一门:xxe1 ex1=1b = l i my -x j =ln 1 -ec，所必y = x是曲线的斜渐近线故选(d).【评注】本题为根柢题型，应熟练掌控曲线的水平渐近线，笔直渐近线和斜渐近线的求法留心当曲线存在水平渐近线时斜渐近线不存在.本题要留心ex当xt,xt时的极限不一样.6【分析】本题根据函数f（x）的性质，判别数列un=f（n）.因为富含笼统函数，使用赋值法举反例更易得出成果【详解】选（d）.一1取f(x)=inx,f(x)=>0,u1=ini=0ain2=u2,而f
32、(n)=innx发散，则可打扫（a）；"1取f（x）=-2,x、6-，1一、1f(x)=>0,u1=1a=u2,而f(n)=)收敛，则可打扫x44n2(b)；取f(x)=x2f”(x)=2a0,ui=1<4=叱，而f(n)=n2发散，则可打扫(c);故选（d）.实际上，u2-u12-1f(2)-f(1)一丁:一二f(1)0.2-i对任意x三,依)，因为f"(x)a0,所以fx)>f(xt-he).故选（d）.【评注】关于富含笼统函数的疑问
33、，经过举契合题设条件的函数的反例可简化核算.【分析】本题查询二元函数可微的充分条件.使用可微的断定条件及可微与接连，偏导的联络.【详解】本题也可用打扫法，（a）是函数在（0,0）接连的界说；（b）是函数在（0,0）处偏导数存在的条件；（d）阐明一阶偏导数偏导函数 fx0可得(x,y)2
34、。%x2y2f(x,0)-f(0,0)=l四f(x,0)二f(0,0),x2x202=0，即fx0)0=同理有fy(0,0)=0.然后im9"f(00fx(a)0:y(0,0)f(.:x,.:y)-f(0,0)=limf("-f(0,0)s他0(m2gy)2根据可微的断定条件可知函数f（x,y）在点（0,0）处可微，故应选（c）.【评注】二元函数接连或偏导数存在均不能推出可微，只需当一阶偏导数接连时，才可微8,【分析】本题替换二次积分的积分次序，先根据二次积分断定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，-<xmn,sinx<y<1,则0mym1
35、,n-arcsiny<x<,故应选（b）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.9.【分析】本题查询由线性无关的向量组"1,"2,0（3规划的另一贯量组pi,22,p3的线性有关性.一般令（冏也也尸（%，4，%）a,若a=0,则久，尾凡线性有关;若a#0,则pi,月滤线性无关.但思考到本题备选项的特征，可经过简略的线性运算得到正确选项详解由（-a2）+（a273）+（以3_口1）=0可知应选（a）或许因为,1(0-11j
36、0-1-10=0,1所以而b的特征值为1,
37、1,0.所以a与b不类似，可是a与b的秩均为2,且正惯性指数都为2,所以a与b合同，故选(b).【评注】若矩阵a与b类似，则a与b具有相同的部队式，相同的秩和相同的特征值.所以经过核算a与b的特征值可当即打扫(a)(c).11【分析】本题为0不决式极限的求解，使用洛必达规则即可0【详解】liarctanx-sinx12-cosxlim1-2x-03×2=limx_0/，/2、1-cosx(1x)3×22、一2xcosxsinx(1x)6x【评注】本题使用了洛必达规则.本题还可用泰勒级数打开核算.,_,13,3、.13,3、因为arctanx=xx+o(x),sinx=x十一x+o(x),36所
38、以limx.0arctanx-sinx112.【分析】本题查询参数方程的导数及导数的几许意义【详解】因为dydx所以曲线在对应于cost一sin112costsint51t=一的点的切线斜率为42.2故曲线在对应于t=的点的法线斜率为方4.2【评注】本题为基础题型.13.【分析】本题求函数的高阶导数，使用递推法或函数的麦克老林打开式2×3,y=2ml(n).(-1)n2nn!为(n)，则y(x)=/c-o、n+，故y(0)(2x+3)(2x+3)(-1)n2nn!3n【评注】本题为基础题型.14.【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，使用二阶常系数非齐次微分方程解的规划求解，即先求出
39、对应齐次方程的通解y,然后求出非齐次微分方程的一个特解y*,则其通解为y=y+y*.【详解】对应齐次方程的特征方程为244九+3=0=%=1,7.2=3)x3x则对应齐次方程的通解为y=gec2e.设原方程的特解为y*=ae2x,代入原方程可得2x2x2x2x4ae8ae+3ae=2e=a=-2,所以原方程的特解为y*=-2e2x,x3x2x故原方程的通解为y=ge+cze-2e，其间ci,c2为任意常数.【评注】本题为基础题型.15【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接使用公式即可【详解】使用求导公式可得:zy1一二一3十一f2，.xxy:z1x=一f1一-2f2,.yxy所以x
40、.x=-2 4 f2g < x v)【评注】二元复合函数求偏导时，最佳设出中心变量，留心核算的正确性16【分析】先将a3求出，然后使用界说判别其秩0【详解】a二 0 0 0ja3 =0 0 10 0 0=r(a) = 1.0 0 00 0 0；【评注】本题查询矩阵的运算和秩，为基础题型17【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可f(x)1x【详解】0 f(t)dt=tcost -sintdt两端对 x求导得sint costf(f(x)f(x)=x(cosx-sinx)sinx cosxx(cosx -sin x)cosx -sin
41、xnxf (x)f，(x) = , ( x # 0)sinx cosxsinx cosx两端积分得= f (x) = ln | sin x cosx | c .(1)f (0)将x=0代入题中方程可得f10f(t)dt=0tcost – sint dt =0.sint costji因为f(x)是区间!i0.一 4上单调、可导的函数，则 f(x)的值域为0,1 1_ 4单调非负，所以f (0) = 0 .代入(1)式可得c = 0,故f (x) =ln|sin x cos |x .【评注】使用变限积分的可导性是解函数方程的办法之一18.【分析】v(a)的可经过广义积分进行核算，再按一般办法求v(
42、a)的最值即可详解(d v(a)=冗乜xax_"3 ::. 0,v(a)单调削减.所以v(a)在a=e获得极大值，即为最大值，且最大值为v(e)=ne2.【评注】本题为定积分几许使用的典型疑问
43、，需回想有关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等.19【分析】本题为不含y的可降阶方程，令y在力8国/dzcfcutudy:【详解】令u=lnysinx,则一xn=一,一十一|xn.iii
44、ddxcu(fx5ydxjeyyxey"=1两端对x求导得y=石，又y。11-xe可得y(0)=1y1e在y=二两端对x求导得1-xeyy4y1y4y4,y4,ey(1-xe)-e(-xey-e)yx=0一2x=0-2.1-xey所以於f rr cu + cu dy1改 w dxx=0=f (0)-cosx y dxx=0=f (0)y-11 e- cosx – yy 1-xex=0=0.d2z1-2 x=0 dx.:u2“osx j dy y dx十更 lsinx .jcu i1 d2ydx2力x=0一小、i-1
45、/dy:1d2y=f(0)-sinx2.2ydxydx【评注】也可使用y向可联想到规划辅佐函数f(x)=f(x)-g(x),然后根据题设条件使用罗尔定理证明【详解】令f(x)=f(x)-g(x),则f(x)在ia,b上接连，在(a,b)内具有二阶导数且f(a)-f(b)-0.(1)若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c获得最大值，则f(c)=g(c)=f(c)=0,所以由罗尔定理可得，存在jw(a,c),工w(c,b),使得f
46、(1)=f(2)=0.再使用罗尔定理，可得存在其(匕与)，使得f(5.【评注】对出题为f仁)=0的证明，一般使用以下两种办法:办法一:验
47、证口为f(nq(x)的最值或极值点，使用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；办法二:验证f(nn(x)在包括x=于其内的区间上满足罗尔定理条件.22.【分析】因为积分区域关于x,y轴均对称，所以使用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以口f(x,y)d。=f(x,y)d。，其间d1为d在第一象限内的有些.dd121而f(x,y)dc-=xd:，.1122dedixym，x_0,y_01-xy<2,x_0,y_0xy1 x 211=0dx0xdy + |0dxi2f 1i _x一 x222-x1dy dx dy210
48、22)yx y所以f(x,y)d；:=-4,2in1、2.d3【评注】被积函数包括/x2+y2时，可思考用极坐标，答复如下:1.f(x,y)d:，:ji22d二1,2xy22.1_xy22.xyx0,y0x0,y0二2=2dlsin.吟二drsin-二cos?23【分析】将方程组和方程兼并，然后使用非齐次线性方程有解的断定条件求得a.【详解】将方程组和方程兼并，后可得线性方程组x1+x2+x3=0x1+2×2+ax3=0j2x1+4×2+ax3=0x1+2×2+x3=a-1其系数矩阵a00a-10显着，当a#1,a#2时无公共解.当a=1时，可求得公共解为c=k(1,0丁)1,k为任
49、意常数;当a=2时，可求得公共解为1=(0,171【评注】本题为基础题型，查询非齐次线性方程组解的断定和规划(24)(本题满分11分)设三阶对称矩阵a的特征向量值九1=1,九2=2,%=-2,%=(1,1,1),是a的归于兀的一个特征向量，记b=a5-4a3+e,其间e为3阶单位矩阵.(i)验证是矩阵b的特征向量，并求b的悉数特征值与特征向量；(ii)求矩阵b.【分析】本题查询实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质【详解】b%=a5-4a3+er=*a-43+%=85-4a3+1衿=一多，则叫是矩阵b的归于一2的特征向量.同理可得b43-4寸+1用2=%,b+
50、1网吟.所以b的悉数特征值为2,1,1设b的归于1的特征向量为口2=(xi,x2,x3)t,显着b为对称矩阵，所以根据不一样特征值所对应的特征向量正交，可得:1t12二0.即x1-x2+x3=0,解方程组可得b的归于1的特征向量,【评注】本题首要查询求笼统矩阵的特征值和特征向量，此类疑问一般用界说求解，要想方设法将题设条件转化为ax=九x的方法.请记住以下结论:(1)设九是方阵的特征值，则ka,aa+be,a2,f(a),a,，a*别离有特征值2 .1a,一k%a九+b,九2,f(z),一,(a可逆)，且对应的特征向量是相同的(2)对实对称矩阵来讲，不一样特征值所对应的特征向量必定是正交的